Народився Юрій Сергійович 26 грудня 1917 р. у м. Курську. Згодом родина переїхала до Новочеркаська, пізніше - до Ростова-на-Дону. Звідти сім'я Асєєвих переїхала до м. Києва.
З боку матері Ю. С. Асєєв належить до роду Дяченків. Цікавим фактом є те, що його батька Сергія Асєєва, тоді студента петербурзького Інституту цивільних інженерів, та матір Ганну Дяченко, яка навчалася на Вищих жіночих курсах, познайомив архітектор Дмитро Дяченко .
Середню освіту Юрій Сергійович здобув у Першій зразковій трудовій школі імені Т. Шевченка (так звана «школа Дурдуківського» - за прізвищем її засновника та очільника, вченого й громадського діяча Володимира Федоровича Дурдуківського).
У 1932-1935 рр. Ю. С. Асєєв навчався в Київському будівельному технікумі. Протягом 1935-1941 рр. - на архітектурному факультеті Київського інженерно-будівельного інституту, по закінченні якого отримав спеціальність архітектора. Серед викладачів Юрія Сергійовича були такі відомі митці, як О. М. Вербицький, В. Г. Кричевський, І. В. Моргілевський, В. Г. Заболотний , П. Г. Юрченко , Й. Ю. Каракіс та ін. Диплом Ю. С. Асєєва був присвячений будівельній виставці в м. Києві.
Після закінчення інституту до листопада 1941 р. працював виконробом на Київській станції обслуговування автомашин.
З 1 серпня 1944 р. до 1 серпня 1948 р. працював старшим науковим співробітником Академії архітектури УРСР у Софійському заповіднику.
З 1 вересня 1948 р. - старший науковий співробітник Інституту теорії та історії архітектури та будівельної техніки Академії архітектури УРСР.
У 1948 р. Ю. С. Асєєв захистив кандидатську дисертацію. У 1948-1952 р. паралельно з роботою в Академії викладав історію архітектури в Київському інженерно-будівельному інституті. У 1953-2000 рр. - старший викладач (з 1974 р. - професор) кафедри історії мистецтв Київського художнього інституту (нині Національна академія образотворчого мистецтва і архітектури), де викладав історію архітектури.
Основним предметом наукової діяльності Ю. С. Асєєва було дослідження архітектури Київської Русі. Він - автор численних книжок з історії архітектури та мистецтва, серед яких «Древний Киев» (1956), «Нариси історії архітектури Української РСР» (у співавторстві; 1957), «Мистецтво стародавньої Русі» (1963), «Спаський собор в Чернігові» (1959), «Архитектура Крыма» (у співавторстві; 1961), «Архитектура» (у співавторстві; 1961), «Архітектура Київської Русі» (1969), «Джерела. Мистецтво Київської Русі» (1980), «Архітектура Древнего Киева» (1982) та ін. Також він є автором численних статей у журналах, наукових збірниках: розвідки про Кирилівську церкву, Дмитрівський собор, Кловський собор у м. Києві, оборонні споруди ХІІ ст. Києво-Печерської лаври, собор Апостолів у м. Білгороді, архітектурні пам'ятки м. Чернігова тощо. Його статті вміщено до «Української радянської енциклопедії», «Большой советской энциклопедии», «Всеобщей энциклопедии искусств».
Ю. С. Асєєв - автор численних архітектурних реконструкцій пам'яток архітектури часів Київської держави. За його реконструкцією відтворено втрачену в 1930-х рр. пам'ятку ХІІ ст. - церкву Богородиці Пирогощі у Києві на Подолі (1998).
Помер Ю. С. Асєєв 3 жовтня 2005 р. в м. Києві.